iFormazione: Costruire la matematica!

Sicuramente una delle convinzioni maggiormente radicate in ogni matematico è che la matematica è bella, convinzione che sicuramente risulta estremamente misteriosa per chi matematico non è! Per cercare di spiegare la difficoltà di apprezzare la bellezza della matematica, spesso i matematici ricorrono al paragone con la musica.
A nessuno, infatti, verrebbe in mente di dire che la musica è bella ascoltando un principiante che solfeggia o che si esercita nel suonare uno strumento, ripetendo magari per ore e ore sempre lo stesso pezzo. In effetti la difficoltà della tecnica e la bellezza di un’esecuzione musicale sembrano essere due momenti indipendenti per chi ascolta senza essere un esperto, eppure non potrebbe esserci musica senza tecnica, studio e ricerca. Comunque, difficoltà tecnica o meno, la bellezza della musica non è messa mai in discussione: la musica è difficile da scrivere e da suonare, ma non da ascoltare, l’ascolto non richiede necessariamente la conoscenza di una tecnica speciale. La matematica in questo è diversa dalla musica; sono molto rari infatti i momenti in cui si può gustare la matematica senza sforzo, come si può ascoltare, rilassandosi, un buon pezzo musicale; la matematica richiede sempre qualche conoscenza a monte per poter essere apprezzata. Recentemente i frattali sono diventati estremamente famosi ed il pubblico li ha graditi proprio per la loro facile bellezza matematica, ma non è affatto semplice trovare ulteriori esempi altrettanto facili e affascinanti, qualcosa cioè che faccia dire al primo impatto: che bello!

Albero frattale

Dietro le immagini che avete già osservato c'è della matematica; la prima immagine rappresenta una bolla di sapone e quindi una superficie minima mentre la seconda riguarda un albero frattale; entrambe le immagini ad un primo impatto suscitano curiosità e bellezza. In tutti e due i casi però si tratta di una matematica che c'è ma non si vede o comunque una matematica dove non siete voi gli artefici di quello che vedete. Ho pensato quindi di parlarvi di alcune costruzioni geometriche, molto facili da realizzare magari assieme ad un bambino che ha già manualità con una riga e con un compasso, che vi condurranno a delle figure matematiche davvero molto belle.

Inviluppo di un quadrato

Costruite un quadrato 11x11 e suddividetelo così come mostrato nel primo quadrato in figura (potete costruire anche un quadrato 20x20 per un risultato più apprezzabile). Prendete una riga ed unite le x della vostra suddivisione seguendo lo schema riportato in figura. Il risultato è sorprendente, dalla sovrapposizione di tanti segmenti compare per magia una curva che in matematica prende il nome di inviluppo di un quadrato; in figura la curva è visibile nel quadrato piccolo in basso a sinistra. Se ripetete la stessa costruzione su 4 quadrati appartenenti ad un unico grande quadrato, otterrete il risultato bellissimo mostrato in figura nel quadrato in basso a destra. La stessa costruzione può essere realizzata utilizzando dei fili di lana colorati e dei chiodini. Si costruisce un quadrato con una matita su un supporto di legno e si suddividono i lati in 20 parti uguali, segnando ogni parte con un chiodino. L’inviluppo consiste nel passare lo spago di lana da un chiodino all'altro seguendo lo stesso schema descritto in precedenza. Il risultato è il seguente

Inviluppo di un quadrato con fili di lana

Ora anziché lavorare con le rette possiamo ad esempio eseguire delle costruzioni geometriche con delle circonferenze. Prendete un compasso e disegnate una circonferenza di diametro e tracciate con la vostra matita un diametro generico della vostra circonferenza. Ora puntate il compasso sulla circonferenza e tracciate la circonferenza tangente al diametro che avete scelto. Spostatevi sempre sulla prima circonferenza che avete disegnato e tracciate un'altra circonferenza sempre tangente al diametro fissato. Una volta disegnata la famiglia di circonferenze con centro sulla circonferenza da voi disegnata inizialmente e tutte tangenti al diametro scelto, otterrete quella che in matematica si dice nefroide; il risultato che dovreste ottenere è il seguente

La nefroide

Un'altra bella curva, la cardioide, può essere ottenuta come inviluppo di circonferenze con centro su di una circonferenza fissata e passanti tutte per un suo punto fissato; cioè, disegnate una circonferenza, fissate un suo punto A e muovendovi sul perimetro della circonferenza che avete disegnato, tracciate tante circonferenze tutte passanti per A, il risultato sarà