Una breve storia dell'Algebra. (Prima parte)

Frammento del papiro di Rhind, 1650 a.C. 

Questo che segue è il primo di due post dedicati alla storia dell'Algebra. Inizierò a narrarvi la storia dell'Algebra ripercorrendo da un lato l'evoluzione delle formule risolutive delle equazioni, a partire da quelle di primo grado, dall'altro l'evoluzione dello sviluppo della notazione algebrica.

L'Algebra sorge letteralmente attorno al problema della risolubilità di certe equazioni, quelle che oggi chiamiamo equazioni algebriche. Le radici storiche dell'algebra sono molto antiche: in Mesopotamia e in Egitto, circa nel 2000 a.C. venivano considerate e correttamente risolte, anche se con riferimento ai soli numeri positivi, alcune equazioni algebriche di primo e secondo grado.
La ricostruzione storica delle conoscenze matematiche degli Egiziani è basata sul ritrovamento di alcuni papiri. Il più interessante del punto di vista matematico è il papiro di Rhind, risalente al 1650 a.C. dove troviamo 80 problemi risolti e procedimenti equivalenti alla risoluzione di equazioni quasi tutte di primo grado. Anche i Babilonesi erano in grado di risolvere, senza però alcuna sistematicità e senza alcun simbolo speziale, equazioni di primo grado e anche di grado superiore. Uno dei più famosi esempi di matematica Babilonese è la tavoletta chiamata Plimpton 322 che prende il nome dalla collezione di G.A. Plimpton alla Columbia University. Si ritiene che la tavoletta sia stata scritta nel 1800 a.C. circa, contiene numeri in scrittura cuneiforme disposti in tabella di quattro colonne per 15 righe. La tabella è una lista di terne pitagoriche i cui numeri sono le soluzioni del teorema di Pitagora. 

Tavoletta di Plimpton, 1800 a.C.

L'Algebra di Al Kwarizmi

Un ruolo primario nello sviluppo della notazione algebrica è quello di Diofanto, vissuto in Grecia tra il 250 e il 350. Il simbolismo usato da Diofanto era complicato e scomodo ma storicamente è degno di menzione in quanto anticipò di circa un millennio il passaggio dall'algebra retorica, in cui le equazioni erano semplicemente descritte con parole tratte dalla lingua comune, all'algebra sincopata, in cui si ricorreva ad alcune descrizioni abbreviate. Nella storia dell'Algebra un anno da non dimenticare è l'830. Al Kwarizmi, studioso arabo fu uno dei primi  matematici a promuovere la diffusione del sistema posizionale indiano. La sua opera più significativa è Al jabr, pubblicata nell'830, nella quale egli sviluppa una moderna e chiara teoria delle equazioni in particolare quelle di secondo grado. In quest'opera non si consideravano le radici negative di un equazione e venivano classificate come impossibili quelle immaginarie. L'opera di Al kwarizmi si inquadra ancora nell'ambito dell'algebra retorica, nella quale le espressioni algebriche erano descritte mediante parole.  Nei 700 anni successivi alla pubblicazione dell'algebra di Al kwarizmi non si hanno significati sviluppi dal punto di vista algebrico. Delle novità le ritroviamo tra le opere matematiche del XV secolo e in particolare notevoli sono i trattati Nicolas Chuquet, matematico francese. L'espressione algebrica impiegata in queste opere era ancora retorica, ma non è difficile ravvisare in essi la presenza delle prime manifestazioni di algebra sincopata. 

Nel 1494, Luca Pacioli, religioso, presbitero e matematico italiano, pubblicò a Venezia una vera e propria enciclopedia matematica, dal titolo Summa de arithmetica, geometria, proportioni e proportionalità, scritta in volgare, contenente un trattato generale di aritmetica e di algebra. Quest'opera è degna di essere menzionata nella storia dell'Algebra in quanto Pacioli impiega largamente l'algebra sincopata.

Piero della Francesca (XV secolo) è autore di un trattato d'abaco tra i più completi del tempo. In esso è assai sviluppata la geometria ma anche l'algebra. Compare una formula risolutiva per radicali di equazioni di quinto grado del tipo

E' certo da testimonianze di matematici del XVI secolo che fu il bolognese Scipione del Ferro a trovare, tra il 1505 e il 1515 la formula risolutiva per le equazioni di terzo grado (senza però rendere pubblica la sua scoperta) del tipo

L'invenzione di Scipione del Ferro fu completata da Niccolò Fontana, detto Tartaglia, con la soluzione dei casi

Tartaglia

Nel IX libro del suo trattato del 1546, Tartaglia riassume in versi le formule per i tre casi; come l'autore stesso dichiara, scopo dei versi è una migliore memorizzazione delle formule stesse. E' interessante notare come, nell'ultima terzina, Tartaglia indica nel 1534 l'anno in cui ha ottenuto i suoi risultati, ribadendo la sua priorità su Cardano, altro matematico del tempo, il quale peraltro nella sua "Ars Magna", aveva ben riconosciuti i meriti al matematico bresciano. Quali sono i contributi di Cardano? Innanzitutto va osservato che nell'opera di Cardano compaiono, riferite a precisi esempi numerici, le dimostrazioni della validità delle formule per i vari casi di equazioni di terzo grado. Si tratta di dimostrazioni geometriche abbastanza laboriose, che testimoniano di una precisa concezione del pensiero rinascimentale: la superiorità della geometria sulle altre discipline matematiche. Inoltre è da sottolineare che le formule di Scipione del Ferro e di Tartaglia acquistano validità generale grazie al fatto che Cardano ha studiato le trasformazioni che permettono di ridurre un'equazione di terzo grado completa in una mancante del termine di secondo grado.

Gli studi ora ricordati di Cardano, di del Ferro e di Tartaglia si limitavano a considerare le radici reali delle equazioni di terzo grado. Fu Rafael Bombelli, nella propria "Algebra" (1572) a riconoscere per primo la necessità di ampliare il campo dei numeri reali mediante nuovi numeri, chiamati oggi immaginari o complessi, adatti a rappresentare radici quadrate di numeri negativi. Dei nuovi numeri, Bombelli stabilì le leggi formali di calcolo e ne dette varie applicazioni. 

L'Algebra di Rafael Bombelli

Vedremo nel prossimo post gli sviluppi della storia dell'Algebra.

Francesco Cannas Aghedu